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万有引力の話から1節分、離れてしまいましたが、もとに戻ってきましょう。
万有引力は中心力ですから、保存力です。
そのとき、ポテンシャルエネルギーも同時に計算することができます。
1節前の中心力を計算したのであればポテンシャルエネルギーは一瞬で計算できてしまいます。
が、復習だと思って1から計算しておくことにしますね。
ポテンシャルエネルギーを計算するために、保存力にあらがう外力のする仕事を計算していました。
今回考えるのは以下のような状況です。
まず原点に質点Mを固定します。
原点からの距離\(r_0\)の位置\(\vec{x}(t_0)\)から、原点からの距離\(r\)の位置\(\vec{x}(t)\)に、万有引力に逆らう外力\(\vec{F}(\vec{x}(t’))\)をかけて質点ｍをゆっくり移動させたとします。
万有引力は定義から外力は、
\vec{F}(\vec{x}(t’))=\frac{GMm}{\left|\vec{x}(t’)\right|^2}\frac{\vec{x}(t’)}{\left|\vec{x}(t’)\right|}
\end{align}
となります。
この外力がする仕事は
W=&\int^{t}_{t_0}\vec{F}(\vec{x}(t’))\cdot\dot{\vec{x}}(t’)dt’\\
=&GMm\int^{t}_{t_0}\frac{1}{\left|\vec{x}(t’)\right|^2}\frac{\vec{x}(t’)}{\left|\vec{x}(t’)\right|}\cdot\dot{\vec{x}}(t’)dt’\\
=&GMm\int^{t}_{t_0}\frac{1}{\left|\vec{x}(t’)\right|^3}\left(\vec{x}(t)\cdot\dot{\vec{x}}(t’)\right)dt’
\end{align}
ここで、
\left|\vec{x}(t’)\right|\frac{d}{dt}\left|\vec{x}(t’)\right|=\vec{x}(t’)\cdot\dot{\vec{x}}(t’)
\end{align}
を使うと、
W=&GMm\int^{t}_{t_0}\frac{1}{\left|\vec{x}(t’)\right|^3}\left|\vec{x}(t’)\right|\frac{d}{dt}\left|\vec{x}(t’)\right|dt’\\
=&GMm\int^{t}_{t_0}\frac{1}{\left|\vec{x}(t’)\right|^2}\frac{d}{dt}\left|\vec{x}(t’)\right|dt’
\end{align}
と書き換えられます。さて、ここで変数変換をします。
\(r’=\left|\vec{x}(t’)\right|\)に変数を変えます。
積分区間は
t’:t_0\to t\\
r’:r_0\to r
\end{cases}\end{align}
となり、微小幅は以下のようになります。
\frac{dr’}{dt’}=\frac{d}{dt’}\left|\vec{x}(t’)\right|\\
\Longleftrightarrow
dr’=\frac{d}{dt’}\left|\vec{x}(t’)\right|dt’
\end{align}
これらを用いると外力のした仕事は以下のように変形できます。
W=&GMm\int^{r}_{r_0}\frac{1}{r’^2}dr’\\
=&GMm\left(-\frac{1}{r}+\frac{1}{r_0}\right)
\end{align}
こうやって計算を進めるとポテンシャルエネルギーの変化が外力のした仕事というのが見えやすい形に変形できて、
-\frac{GMm}{r_0}+W=-\frac{GMm}{r}
\end{align}
となります。基準点の\(r_0\)を無限遠とする\(r_0=\infty\)と左辺は\(W\)だけになりますので、以下のように定義した万有引力のポテンシャルエネルギーを使うのが自然です。
定義
原点に質点Mを固定し、そこからの距離\(r\)の位置に質点ｍがあるとき、万有引力のポテンシャルエネルギーは基準点を無限遠として、以下のものをよく使う。
U(r)=-\frac{GMm}{r}
\end{align}
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