物理の勉強記録&参考書紹介

円の方程式

(※数式が見切れている場合は横スクロールしてください。)

さて、ここからは1次元から3次元へ抜け出すための数学準備です。マキノさん、気合いを入れていきましょう!

中学レベルの数学では、直線の方程式、放物線の方程式、双曲線の方程式(反比例)、と3種類の図形を表す方程式を習っていますね。全部かけます?

直線の方程式は

\begin{align}
y=ax+b
\end{align}

という形で、放物線の方程式は

\begin{align}
y=ax^2\quad(a\neq0)
\end{align}

という形で、双曲線(反比例)の方程式は

\begin{align}
y=\frac{a}{x}\quad(a\neq0)
\end{align}

という形でしたね。思い出しました?

これらの方程式の名前が意味するところは、この関係を保った全ての\((x,y)\)という座標を\(xy\)平面にプロットすると、それぞれの名前の図形が得られるということです。

例えば、

\begin{align}
y=\frac{1}{2}x+3
\end{align}

という関係を満たす点をxy平面にプロットすると以下のような直線が得られます。

逆側から考えて、\(xy\)平面に書かれた直線上の全ての点は\((x,y)\)の間に一定の関係があって、その関係を表す式が直線の方程式である、という考え方も正しいです。

「図形の方程式」という言葉の意味が理解できましたかね?現段階では難しくてもだんだんと慣れていきますので、ひとまず先に進んでいきましょう。

この節では円の方程式というものを新たに学習します。\(xy\)平面上に円を描くような\(x\)と\(y\)の関係式を見つけて覚えるのがここでやる作業です。

\(xy\)平面上の任意の点P\((x,y)\)を準備します。点Pと原点Oの距離は三平方の定理から、

\begin{align}
OP=\sqrt{x^2+y^2}
\end{align}

となります。

もし点Pが原点を中心とした半径\(r\)の円周上に乗っていたら、その円周上のどこに点Pが存在していても以下のような関係が成り立ちます。

\begin{align}
&\sqrt{x^2+y^2}=r\\
\Longleftrightarrow&x^2+y^2=r^2
\end{align}

この後者の式を一般に円の方程式と呼びます。

公式

原点中心、半径\(r\)の円の方程式は以下のような形をしている。

\begin{align}
x^2+y^2=r^2
\end{align}

問題

1. 原点中心で\((3,4)\)を通る円の方程式を求めよ。
2. 座標\((2,y)\)がその円上に存在するとき\(y\)の値を求めよ。

解答

1.
円の方程式に\((3,4)\)を代入すると

\begin{align}
3^2+4^2=r^2\Longleftrightarrow r=5
\end{align}

から\(r=5\)がわかるのでこの円の方程式は

\begin{align}
x^2+y^2=25
\end{align}

とわかります。

2.
求めた円の方程式の\(x\)に\(2\)を代入すると

\begin{align}
&2^2+y^2=25\\
\Longleftrightarrow &y^2=25-4=21\\
\Longleftrightarrow & y=\pm\sqrt{21}
\end{align}

円上に、\(x\)が\(2\)となる点が2点あるので\(y\)の値も2つあります。

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