(※数式が見切れている場合は横スクロールしてください。)
高校数学に入って早々に微分に入っていきますよ。ちょっと面倒に感じる部分はあるかもしれませんけど、ゆっくり読んで理解していってください。次のグラフに注目してください。
このグラフの点Aと点B1を結ぶ直線の傾きは、
\frac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}=\frac{f(a+h)-f(a)}{a}
\end{align}
となりますね。（ここまでは中学範囲ですよ！）
点B1を徐々に点Aに近づけていく（\(h\)をゼロに近づけていく）と以下の図のようになっていきます。
点Bが少しずつ点Aに近づくとそれを結ぶ直線は\(y=f(x)\)の接線に近づいていきます。そして完全に点Bが点Aに重なる極限では、先程の傾きは \(y=f(x)\) の点Aでの傾きとなります。これが微分の本質です。
定義
\frac{d}{dx}f(x)|_{x=a}=\lim_{h\to a}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
\end{align}
この左辺を \(f(x)\) の \(x=a\) での微分係数という。
この微分係数を \(f’(a)\)とプライム付きで表示することがあるのでそれも知っておいてください。（\(d/dx\)の部分が微分記号と思ってくれたらオッケーです。）
ここまでで、\(y=f(x)\)上の一つの点Aを決めたときにその接線の傾きを極限計算で求められることがわかりました。でもわざわざ点Aと決めなくても \(y=f(x)\) 上の任意の点における接線の傾きを知りたいってこともあります。
その場合には、先程の点Aを動かして、\(f’\)がどのような関数になるかを考えれば良いわけです。（ちょっと難しいかもしれないですけど、問題を解いてるうちに慣れます。）その関数のことを導関数と言います。
定義
f'(x)=\frac{d}{dx}f(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
\end{align}
問題
導関数 \(f’(x)\)と微分係数 \(f’(2)\) を求めよ。
&1.\quad f(x)=3x+5\\
&2.\quad f(x)=x^3+x
\end{align}
解答
1.
f'(x)=&\lim_{h\to0}\frac{3(x+h)-5-3x+5}{h}\\
=&\lim_{h\to0}3=3\\
f'(2)=&3
\end{align}
2.
f'(x)=&\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^3+(x+h)-x^3-x}{h}\\
=&\lim_{h\to0}(3x^2+3xh+h^2+1)\\
=&3x^2+1\\
f'(2)=&3\cdot2^2+1=13
\end{align}
これでマキノさんも微分ができるようになってしまいました。明日から自慢できますね。
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