(※数式が見切れている場合は横スクロールしてください。)
極限操作というものが微分の勉強には不可欠ですので、まずは極限記号の定義から入って行きましょう。ちなみにこのテキストでは最初に高校数学の頭から微分を習います。それが物理の勉強の順番に沿っているからです。
定義
\begin{align}
\lim_{t\to a}f(t)=f(a)
\end{align}
\lim_{t\to a}f(t)=f(a)
\end{align}
基本的には\(\lim\)の記号の後の関数に、代入しろという記号だと思えば大丈夫です。
ただ、単純に代入すると分母も分子もゼロになってしまう（不定形と言われる形）ことがあります。その場合は分母と分子で約分をするなどして、不定形を避ける必要が出てくるんです。
不定形の細かいところは一旦気にせず次の問題くらいが出来ていたらひとまずオッケーです。
問題
\begin{align}
&1.\quad \lim_{t\to0}(5t-2)\\
&2.\quad \lim_{t\to5}\left( \frac{t^2-4t-5}{t-5} \right)
\end{align}
&1.\quad \lim_{t\to0}(5t-2)\\
&2.\quad \lim_{t\to5}\left( \frac{t^2-4t-5}{t-5} \right)
\end{align}
解答
\begin{align}
&1.\quad \lim_{t\to0}(5t-2)=5\cdot0-2=-2\\
&2.\quad \lim_{t\to5}\left(\frac{(t+1)(t-5)}{t-5}\right)=\lim_{t\to 5}(t+1)=6
\end{align}
&1.\quad \lim_{t\to0}(5t-2)=5\cdot0-2=-2\\
&2.\quad \lim_{t\to5}\left(\frac{(t+1)(t-5)}{t-5}\right)=\lim_{t\to 5}(t+1)=6
\end{align}
2番に関しては\(t\)にそのまま\(5\)を代入すると、不定形になるので、まず分子を因数分解して分母と約分してから極限の操作をすれば大丈夫です。
関連リンク
>>YouTubeで使用可能な数学と物理の参考書「アラサー高校物理」
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