物理の勉強記録&参考書紹介

位置、速度、加速度の関係2

(※数式が見切れている場合は横スクロールしてください。)

これまでに、位置、速度、加速度の関係として以下のようなことを学んでいます。

\begin{align}
x(t)\xrightarrow{時間微分}v(t)\xrightarrow{時間微分}a(t)
\end{align}

位置を時間微分すれば速度に、速度を時間微分すれば加速度になるという関係ですね。さらに、積分という操作が微分という操作の逆の操作であることも学びました。

ということは、逆向きの関係も積分という数学的なテクニックを通して考えられるようになっているはずですね。

ようするに、加速度が与えられたときに、時間積分することによって速度を、もう一度時間積分をすることによって位置を割り出すことができるのではないかと予想できるわけです。

このあたりを詳しくみていくことにしますね。ここでも簡単のために質点が1次元上を運動していることを考えることにしましょう。

まず、質点の加速度を時刻の関数として、知っているとしましょう。

ある時刻\(t’\)から\(t’+dt’\)の微小時間の範囲では加速度が\(a(t’)\)で一定だとすると(加速度一定とみなしてもよいくらいの微小時間を選んだと考える)、その微小時間の間に速度は\(a(t’)dt’\)だけ変化しますね。それがそもそも加速度の意味ですからね。

それを数式で表すと、以下のようになります。

\begin{align}
v(t’+dt’)-v(t)=a(t’)dt’
\end{align}

この微小変化を寄せ集めていくと、ある2時刻間の速度の変化を記述できることになります。寄せ集めを積分の表現するのには慣れているはずなので、積分で書くと以下のようになります。

\begin{align}
&\int^t_{t_0}a(t’)dt’=\int^t_{t_0}\left(\frac{d}{dt}v(t’)\right)dt’\\
=&\left[v(t’)\right]^t_{t_0}=v(t)-v(t_0)
\end{align}

1つ目の等号では、加速度が、速度の時間微分で表されることを使いました。そして、微分したものの、原始関数は元に戻るので、2つ目の等号は原始関数の定義と定積分の定義からこのようになるのは自然です。

より簡単な言葉で言うと、微分したものを積分するのだから元に戻るでしょうということです。

速度の関数として正しいものを得るためには、加速度のほかに、時刻\(t_0\)のときの速度の情報が必要となることもこの定積分を実行したことでわかりましたかね?

実はこれは当たり前のことで、今回の積分で計算したものは速度の「変化」の寄せ集めでして、結局寄せ集めたところで変化分しか計算できないわけです。

速度を時刻の関数として得るには、変化し始めた瞬間の情報が必要です。

これを初期条件と言います。

加速度から、速度の関数を導く方法は何となくイメージできましたかね?速度の情報から位置の情報を引き出す際にも同じ議論ができて、

\begin{align}
&\int^t_{t_0}v(t’)dt’=\int^t_{t_0}\left(\frac{d}{dt}x(t’)\right)dt’\\
=&\left[x(t’)\right]^t_{t_0}=x(t)-x(t_0)
\end{align}

のようになります。やはりこれも位置の変化だけが速度の関数から引き出されて、初期条件として、最初の位置がわからないと正しい関数は得られません。先ほどの式と合わせて、少しだけ移項した結果を公式としてまとめておきましょう。

公式

\begin{align}
&x(t)=x(t_0)+\int^t_{t_0}v(t’)dt’\\
&v(t)=v(t_0)+\int^t_{t_0}a(t’)dt’
\end{align}

ここまでをまとめると以下のような構図が見えてくることになります。

\begin{align}
x(t)\xrightarrow{時間微分}&v(t)\xrightarrow{時間微分}a(t)\\
x(t)\xleftarrow{積分と初期条件}& v(t)\xleftarrow{積分と初期条件}a(t)
\end{align}

これで位置、速度、加速度の関係を微分と積分を用いて、表現することができましたね。

問題を解いて、物理でも積分を使ってみましょう。

問題

次の加速度の関数と、初期条件を与えられたときに、速度の関数と位置の関数を求めよ。

\begin{align}
&1.\quad a(t)=0,\quad v(0)=v_0,\quad x(0)=x_0\\
&2.\quad a(t)=a_0,\quad v(0)=v_0,\quad x(0)=x_0\\
&3.\quad a(t)=a_0t,\quad v(0)=v_0,\quad x(0)=x_0\\
\end{align}

解答

基本的には全部積分していくだけです。

1.

\begin{align}
&v(t)=\int^t_0 0dt+v_0=v_0\\
&x(t)=\int^t_0 v_0dt+x_0=v_0 t+x_0
\end{align}

2.

\begin{align}
&v(t)=\int^t_0 a_0dt+v_0=a_0t+v_0\\
&x(t)=\int^t_0 (a_0 t+v_0)dt+x_0=\frac{1}{2}a_0t^2+v_0 t+x_0
\end{align}

1.は速度が一定な等速度運動と言い、2.は加速度が一定な等加速度運動と言います。

3.

\begin{align}
&v(t)=\int^t_0 a_0tdt+v_0=\frac{1}{2}a_0t^2+v_0\\
&x(t)=\int^t_0 \left(\frac{1}{2}a_0 t^2+v_0\right)dt+x_0=\frac{1}{6}a_0t^3+v_0 t+x_0
\end{align}

本当はこのあたりでもっと色んな問題にチャレンジしてもいいかなという感じなのですが、その辺は問題集に譲ることにします。

テキストでは必要最低限の問題しか扱ってないですけど、一応ここまで理解していれば先には進めます。

もし、余裕のある場合には問題集の方へ。

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