物理の勉強記録&参考書紹介

運動方程式

(※数式が見切れている場合は横スクロールしてください。)

引き続き、1次元上の質点の運動を考えることにしますね。

質点の運動を説明したい!(説明することを記述するという言葉で表現することがあります)というときには、1つの方法としては、各時刻各時刻で質点の位置を測定して、位置を時刻の関数として表現するというやり方を採用できます。

その場合には、位置を時刻の関数として知っているので、時間微分を繰り返すことによって、速度の関数、加速度の関数を知ることができます。これが「位置、速度、加速度の関係1」で学習したことです。

先ほどの「位置、速度、加速度の関係2」では積分操作を使いました。

加速度を時刻の関数として知っている場合、時間積分を繰り返すことによって、速度の関数と位置の関数を知ることができます。ただし、初期条件として、初期速度や初期位置の情報も必要となるわけです。

ここで改めてよく考えてみると、そもそも加速度って何が原因で生まれているの?という疑問を持つことができるわけです。

その1つの解決策としては運動方程式というものがあります。

そこで続いては運動方程式を説明することにしますね。

定義

質点の質量を\(m\)とする。(以降、「質点m」という表現をする)

また、質点に加える力を\(F(t)\)とする。そのとき、質点mにかかる力Fと質点mの加速度の関係は以下のように運動方程式で表される。

\begin{align}
F(t)=ma(t)
\end{align}

運動方程式は力と加速度を紐づける方程式です。そしてこれからしばらく続く本書の「力学編」の基礎となります。

そして、この運動方程式は「基礎」なので、「なぜ成立するのか」と悩むことなく受け入れざるを得ないものです。

何を出発点としてその学問体系を記述するのかは、その体系を記述する人の趣味の問題ですけど、こと力学に関しては運動方程式を出発点とするのが初等的な学習の中では最も自然なものとして受け入れられているように思います。

少しややこしい言い方をしましたけど、運動方程式は算数で言うところの九九みたいなものだと思ってください。

運動方程式については色んな人が色んな実験をして、こりゃ正しいなと、思われている物理の1つの法則なので、これを受け入れなければ物理は始まりません。

あと、質量って何?って考えだすと、これまた難しい問題なんですけど、今のマキノさんのレベルだとそこまでの説明に踏み込むよりも先に、問題を少しでも解いて運動方程式を使うことに慣れた方がいいんです。

そのうちこういう一番基本的なところも真面目に説明する日が来るかもしれません。そのうち。そのうち。

ということで問題演習です。

問題

質点mの1次元上の運動を考える。(x軸上の運動とする。)

時刻\(t=0\)で、原点に静止している質点mに、時刻\(t=0\)以降、力Fを正の向きにかけ続けた。(\(F\)は定数とする。)

この時、任意の時刻\(t≧0\)の質点mの速度と位置を求めよ。

解答

運動方程式から、

\begin{align}
&ma(t)=F\\
\Longleftrightarrow &a(t)=\frac{F}{m}
\end{align}

なので、あとは積分をすると答えが出てきます。積分計算諸々は公式通りです。

\begin{align}
v(t)=&\int^t_0\frac{F}{m}dt+0\\
=&\frac{F}{m}t\\
x(t)=&\int^t_0\frac{F}{m}tdt+0\\
=&\frac{F}{2m}t^2
\end{align}

これで、力を測定できたときには、その後の質点の動きも積分を使って追うことができるようになりました。その架け橋をしてくれているのが運動方程式というわけですね。

ちなみに以前、物理でよく使う単位として、メートルと秒を説明しました。ここでもそれは同じで、以降も何も断りがない場合はメートルと秒を基本の単位として使っていると思ってください。

また、質量についてはキログラムを基本単位として使います。ですので、力の単位は

\begin{align}
キログラム\times(メートル\div秒\div秒)
\end{align}

となります。後半のカッコでくくったところが加速度の単位です。

これをニュートン(記号は大文字のNを使います。)と定義し、ニュートンという単位をよく使います。

以降、断りが無い場合には質量の単位としてはキログラム、力の単位としてはニュートンを使っていると考えてください。

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