物理の勉強記録&参考書紹介

角運動量の時間微分

(※数式が見切れている場合は横スクロールしてください。)

外積の時間微分は計算できるようになっていますから、角運動量も時間微分することができます。質点mの原点まわりの角運動量の時間依存を微分することで見てみましょう。

\begin{align}
\frac{d}{dt}\vec{L}(t)=&\frac{d}{dt}\left(\vec{x}(t)\times\vec{p}(t)\right)\\
=&\dot{\vec{x}}(t)\times m\dot{\vec{x}}(t)+\vec{x}(t)\times m \ddot{\vec{x}}(t)\\
=&\vec{x}(t)\times \vec{F}(t)
\end{align}

最後の変形で運動方程式を用いています。\(\vec{F}(t)\)は質点mにかかる力です。この計算の右辺の最後の式、すなわち\(\vec{x}(t)\times \vec{F}(t)\)を原点回りのモーメントと言います。

運動方程式と対比させてみるとイメージがつかみやすくなるはずです。運動方程式は以下のように書くことができます。

\begin{align}
\vec{F}(t)=m\ddot{\vec{x}}(t)=\dot{\vec{p}}(t)
\end{align}

すなわち、力\(\vec{F}(t)\)が運動量の変化を表すと見ることができますね。これと同様に考えると先ほどの式は、モーメントが角運動量の変化を表すと読むことができますね。

ちなみにモーメントの大きさは

\begin{align}
\left|\vec{x}\times\vec{F}\right|=\left|\vec{x}\right|\cdot\left|\vec{F}\right|\sin\theta
\end{align}

となりますが、これを図で確認するとより理解が深まります。

この図を見ると、\(\vec{F}\)のうち回転の勢いを変化させる成分がちょうど\(F\sin\theta\)になっていることがお分かりいただけるでしょう。

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