物理の勉強記録&参考書紹介

ケプラーの第3法則

(※数式が見切れている場合は横スクロールしてください。)

ケプラーの第3法則を解説していきます。ケプラーの第3法則は公転の周期と、だ円の長半径の関係性を表すものです。

前回ケプラーの第1法則、惑星が太陽を焦点とするだ円軌道上を運動することを示しました。極座標表示での2次曲線の一般型は

\begin{align}
r=\frac{ea}{e\cos\theta+1}
\end{align}

でした。これをだ円の条件\((0<e<1)\)で、まずは直交座標系(\(xy\)系)で表現しなおしてみます。

その方がだ円の面積などは求めやすいので。

\(r=\sqrt{x^2+y^2}\)と\(r\cos\theta=x\)を使えばすぐに書き直せますね。

\begin{align}
&er\cos\theta+r=ea\\
\Longleftrightarrow
&ex+\sqrt{x^2+y^2}=ea\\
\Longleftrightarrow
&x^2+y^2=e^2(a-x)^2\\
\Longleftrightarrow
&(1-e^2)x^2+2e^2ax+y^2=e^2a^2\\
\Longleftrightarrow
&(1-e^2)\left(x^2+\frac{2e^2ax}{1-e^2}\right)+y^2=e^2a^2\\
\Longleftrightarrow
&(1-e^2)\left(x+\frac{e^2a}{1-e^2}\right)^2-\frac{e^4a^2}{1-e^2}+y^2=e^2a^2\\
\Longleftrightarrow
&(1-e^2)\left(x+\frac{e^2a}{1-e^2}\right)^2+y^2=\frac{e^2a^2}{1-e^2}\\
\Longleftrightarrow
&\frac{\left(x+\frac{e^2a}{1-e^2}\right)^2}{\left(\frac{ea}{1-e^2}\right)^2}+\frac{y^2}{\left(\frac{ea}{\sqrt{1-e^2}}\right)^2}=1
\end{align}

ここまで変形をすると、長半径\(r_A\)、短半径\(r_B\)、そしてだ円の面積\(S\)も求められます。

\begin{align}
&r_A=\frac{ea}{1-e^2}\\
&r_B=\frac{ea}{\sqrt{1-e^2}}=\sqrt{r_A}\sqrt{ea}\\
&S=\pi r_A r_B=\pi r_A^{\frac{3}{2}}\sqrt{ea}
\end{align}

この\(S\)を面積速度で割れば、周期\(T\)が出ます。\(ea\)は定数ですし、面積速度も定数なので、\(T\)は\(r_A\)の\(3/2\)乗に比例します。

ということは\(T^2\)は長半径の3乗に比例します。これがケプラーの第3法則です。

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