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中学ではあまり慣れない関数に名前をつけるということに関して、ここで勉強をしておきましょう。
ここでいう関数の名前というのは1次関数や2次関数といった一般的な関数の名称ではなく、ここにつける愛称のようなものです。
例えば、以下のような関数を考えます。
f(x)=x^2+x+3
\end{align}
もしマキノさんが慣れない書き方だなと思った場合はしばらくお付き合いください。この書き方に慣れていらっしゃるならこの節は簡単なので飛ばしてください。
さて、この式の左辺の意味するところは、\(f\)という名前の関数は\(x\)という文字を変数として扱いますよ、ということです。
このfが関数の名前、\(x\)のことを引数（ひきすう）と呼びます。関数の名前としてよく使われるのはアルファベットのfでこれはfunction（関数）から来ています。
なんでわざわざ名前をつけるのかというと、このように書いておくと便利なことがあるからです。例えば、\(x\)に\(2\)を代入したときこの関数はどのような値を返すかというと
f(2)=2^2+2+3
\end{align}
となりますし、\(x\)に\((-1)\)を代入すると、
f(-1)=(-1)^2+(-1)+3
\end{align}
となります。関数に名前をつけておくと左辺だけ書けば何を示しているかわかるようになるのですが、関数に名前がないと、毎回この右辺のような書き方をしなければならなくなります。
たかだか3項くらいだとありがたみを感じないかもしれませんが、例えば次のような関数を考えてみましょう。
g(a)=a^4+a^3+a^2+a+1+\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{a^4}
\end{align}
このように項数が多い関数だとどうでしょう。この\(a\)に\(3\)を代入した値を次のどちらで表現したいですか？
関数の名前を使って表現する場合。
g(3)
\end{align}
関数の名前を使わずに表現する場合。
3^4+3^3+3^2+3+1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^4}
\end{align}
わたくしなら迷わず前者で表現したいと思います。
というわけで、関数に名前をつけることのメリットもご理解いただけましたかね？
もちろんより一般的な話を進めるときにもここで習った表記の仕方が使えないと説明が面倒になることもあるので、問題を解いて慣れておきましょう。
問題
関数\(g\)と\(f\)を以下のように定義する。
&f(x)=x^2+5x\\
&g(a)=ax^2+a^2x+a^3
\end{align}
このときに次の値を答えよ。
&1.\quad f(2)\qquad 2.\quad f(y)\\
&3.\quad g(2)\qquad 4.\quad g(x)
\end{align}
解答
&1.\quad f(2)=2^2+5\cdot2=14\\
&2.\quad f(y)=y^2+5y\\
&3.\quad g(2)=2x^2+2^2x+2^3=2x^2+4x+8\\
&4.\quad g(x)=x\cdot x^2+x^2\cdot x+x^3=3x^3
\end{align}
\(g\)については引数が\(a\)なので、\(a\)の部分に値を代入するのが正解です。間違えて\(x\)の方に値を代入しないようにしてくださいね。
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