余弦定理｜ぽこラボ勉強ブログ

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この章は簡単な三角関数の公式の1つの紹介です。

ベクトルの内積を勉強したマキノさんにとってはかなりイージーな章になっています。

まずこちらの三角形をご覧ください。

三角形ABCがあって、以下のように数値が与えられているとします。

$\begin{align}\begin{cases} AB=c\\ AC=b\\ \angle BAC=\theta \end{cases}\end{align}$

これらの値を使って、 $BC$ の長さ $a$ を求める公式を余弦定理と言います。

ベクトルで考えるとすぐに計算ができます。

$\begin{align} \left|\vec{BC}\right|^2=&\left|\vec{AC}-\vec{AB}\right|^2\\ =&\left|\vec{AC}\right|^2-2\vec{AC}\cdot\vec{AB}+\left|\vec{AB}\right|^2\\ =&b^2-2bc\cos\theta+c^2 \end{align}$

これのルートを取れば $a$ が出ます。

以下を余弦定理という公式として覚えておくといいかと思います。

公式

以下の式を余弦定理という。

$\begin{align} a^2=b^2+c^2-2bc\cos\theta \end{align}$

問題

$\angle B=\phi$ とするとき、 $b$ を $\phi$ 、 $a$ 、 $c$ で表せ。

解答

やることは全く同じです。

$\begin{align} \left|\vec{AC}\right|^2=&\left|\vec{BC}-\vec{BA}\right|^2\\ =&\left|\vec{BC}\right|^2-2\vec{BC}\cdot\vec{BA}+\left|\vec{BA}\right|^2\\ =&a^2-2ac\cos\phi+c^2 \end{align}$

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