(※数式が見切れている場合は横スクロールしてください。)
ある時刻に質点が以下のような速度\(\vec{v}\)を持っているとしましょう。
\(xy\)表示での分解はここまで勉強してきたマキノさんなら慣れていらっしゃるで章から、メインは\(r\theta\)表示との対応を考えることです。
上の図を参考に考えると以下のような関係にあることがわかります。
\begin{align}
\begin{cases}
v_r=v_x\cos\theta+v_y\sin\theta\\
v_\theta=-v_x\sin\theta+v_y\cos\theta
\end{cases}
\end{align}
\begin{cases}
v_r=v_x\cos\theta+v_y\sin\theta\\
v_\theta=-v_x\sin\theta+v_y\cos\theta
\end{cases}
\end{align}
ついでに\(v_x\)と\(v_y\)も\(r\theta\)表示してみましょう。
\begin{align}
v_x=&\frac{d}{dt}(r\cos\theta)\\
=&\dot{r}\cos\theta-r\dot{\theta}\sin\theta\\
v_y=&\frac{d}{dt}(r\sin\theta)\\
=&\dot{r}\sin\theta+r\dot{\theta}\cos\theta
\end{align}
v_x=&\frac{d}{dt}(r\cos\theta)\\
=&\dot{r}\cos\theta-r\dot{\theta}\sin\theta\\
v_y=&\frac{d}{dt}(r\sin\theta)\\
=&\dot{r}\sin\theta+r\dot{\theta}\cos\theta
\end{align}
となります。これを先ほどの\(v_r\)と\(v_\theta\)に入れると以下のようになります。
\begin{align}
v_r=&(\dot{r}\cos\theta-r\dot{\theta}\sin\theta)\cos\theta+(\dot{r}\sin\theta+r\dot{\theta}\cos\theta)\sin\theta\\
=&\dot{r}\\
v_\theta=&-(\dot{r}\cos\theta-r\dot{\theta}\sin\theta)\sin\theta+(\dot{r}\sin\theta+r\dot{\theta}\cos\theta)\cos\theta\\
=&r\dot{\theta}
\end{align}
v_r=&(\dot{r}\cos\theta-r\dot{\theta}\sin\theta)\cos\theta+(\dot{r}\sin\theta+r\dot{\theta}\cos\theta)\sin\theta\\
=&\dot{r}\\
v_\theta=&-(\dot{r}\cos\theta-r\dot{\theta}\sin\theta)\sin\theta+(\dot{r}\sin\theta+r\dot{\theta}\cos\theta)\cos\theta\\
=&r\dot{\theta}
\end{align}
これと同じように加速度を計算してしまいましょう。
まず加速度\(a_r\)と\(a_\theta\)を\(a_x\)と\(a_y\)で表現します。
\begin{align}
\begin{cases}
a_r=a_x\cos\theta+a_y\sin\theta\\
a_\theta=-a_x\sin\theta+a_y\cos\theta
\end{cases}
\end{align}
\begin{cases}
a_r=a_x\cos\theta+a_y\sin\theta\\
a_\theta=-a_x\sin\theta+a_y\cos\theta
\end{cases}
\end{align}
この\(a_x\)と\(a_y\)も改めて\(r\theta\)表示してしまえばいいですね。
\begin{align}
a_x=&\frac{d}{dt}v_x=\frac{d}{dt}(\dot{r}\cos\theta-r\dot{\theta}\sin\theta)\\
=&\ddot{r}\cos\theta-2\dot{r}\dot{\theta}\sin\theta-r\dot{\theta}^2\cos\theta-r\ddot{\theta}\sin\theta\\
a_y=&\frac{d}{dt}v_y=\frac{d}{dt}(\dot{r}\sin\theta+r\dot{\theta}\cos\theta)\\
=&\ddot{r}\sin\theta+2\dot{r}\dot{\theta}\cos\theta-r\dot{\theta}^2\sin\theta+r\ddot{\theta}\cos\theta
\end{align}
a_x=&\frac{d}{dt}v_x=\frac{d}{dt}(\dot{r}\cos\theta-r\dot{\theta}\sin\theta)\\
=&\ddot{r}\cos\theta-2\dot{r}\dot{\theta}\sin\theta-r\dot{\theta}^2\cos\theta-r\ddot{\theta}\sin\theta\\
a_y=&\frac{d}{dt}v_y=\frac{d}{dt}(\dot{r}\sin\theta+r\dot{\theta}\cos\theta)\\
=&\ddot{r}\sin\theta+2\dot{r}\dot{\theta}\cos\theta-r\dot{\theta}^2\sin\theta+r\ddot{\theta}\cos\theta
\end{align}
これを先ほどの式に代入して
\begin{align}
a_r=&(\ddot{r}\cos\theta-2\dot{r}\dot{\theta}\sin\theta-r\dot{\theta}^2\cos\theta-r\ddot{\theta}\sin\theta)\cos\theta+(\ddot{r}\sin\theta+2\dot{r}\dot{\theta}\cos\theta-r\dot{\theta}^2\sin\theta+r\ddot{\theta}\cos\theta)\sin\theta\\
=&\ddot{r}-r\dot{\theta}^2\\
a_\theta=&-(\ddot{r}\cos\theta-2\dot{r}\dot{\theta}\sin\theta-r\dot{\theta}^2\cos\theta-r\ddot{\theta}\sin\theta)\sin\theta+(\ddot{r}\sin\theta+2\dot{r}\dot{\theta}\cos\theta-r\dot{\theta}^2\sin\theta+r\ddot{\theta}\cos\theta)\cos\theta\\
=&2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}=\frac{1}{r}\frac{d}{dt}(r^2\dot{\theta})
\end{align}
a_r=&(\ddot{r}\cos\theta-2\dot{r}\dot{\theta}\sin\theta-r\dot{\theta}^2\cos\theta-r\ddot{\theta}\sin\theta)\cos\theta+(\ddot{r}\sin\theta+2\dot{r}\dot{\theta}\cos\theta-r\dot{\theta}^2\sin\theta+r\ddot{\theta}\cos\theta)\sin\theta\\
=&\ddot{r}-r\dot{\theta}^2\\
a_\theta=&-(\ddot{r}\cos\theta-2\dot{r}\dot{\theta}\sin\theta-r\dot{\theta}^2\cos\theta-r\ddot{\theta}\sin\theta)\sin\theta+(\ddot{r}\sin\theta+2\dot{r}\dot{\theta}\cos\theta-r\dot{\theta}^2\sin\theta+r\ddot{\theta}\cos\theta)\cos\theta\\
=&2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}=\frac{1}{r}\frac{d}{dt}(r^2\dot{\theta})
\end{align}
問題
質点ｍが等速円運動をするために必要な向心力の大きさを求めよ。
解答
向心力の大きさを\(f_r\)として\(r\)方向の運動方程式を書くと
\begin{align}
f_r=ma_r=mr\dot{\theta}^2
\end{align}
f_r=ma_r=mr\dot{\theta}^2
\end{align}
\(a_r\)に関しては第1項\(\ddot{r}\)はゼロです。等速円運動なので。
ちなみに\(\dot{\theta}=\omega\)とおくと、これまでに見た公式通りのものがちゃんと導けていることがわかります。
関連リンク
>>YouTubeで使用可能な数学と物理の参考書「アラサー高校物理」
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