物理の勉強記録&参考書紹介

万有引力のポテンシャルエネルギー

(※数式が見切れている場合は横スクロールしてください。)

万有引力の話から1節分、離れてしまいましたが、もとに戻ってきましょう。

万有引力は中心力ですから、保存力です。

そのとき、ポテンシャルエネルギーも同時に計算することができます。

1節前の中心力を計算したのであればポテンシャルエネルギーは一瞬で計算できてしまいます。

が、復習だと思って1から計算しておくことにしますね。

ポテンシャルエネルギーを計算するために、保存力にあらがう外力のする仕事を計算していました。

今回考えるのは以下のような状況です。

まず原点に質点Mを固定します。

原点からの距離\(r_0\)の位置\(\vec{x}(t_0)\)から、原点からの距離\(r\)の位置\(\vec{x}(t)\)に、万有引力に逆らう外力\(\vec{F}(\vec{x}(t’))\)をかけて質点mをゆっくり移動させたとします。

万有引力は定義から外力は、

\begin{align}
\vec{F}(\vec{x}(t’))=\frac{GMm}{\left|\vec{x}(t’)\right|^2}\frac{\vec{x}(t’)}{\left|\vec{x}(t’)\right|}
\end{align}

となります。

この外力がする仕事は

\begin{align}
W=&\int^{t}_{t_0}\vec{F}(\vec{x}(t’))\cdot\dot{\vec{x}}(t’)dt’\\
=&GMm\int^{t}_{t_0}\frac{1}{\left|\vec{x}(t’)\right|^2}\frac{\vec{x}(t’)}{\left|\vec{x}(t’)\right|}\cdot\dot{\vec{x}}(t’)dt’\\
=&GMm\int^{t}_{t_0}\frac{1}{\left|\vec{x}(t’)\right|^3}\left(\vec{x}(t)\cdot\dot{\vec{x}}(t’)\right)dt’
\end{align}

ここで、

\begin{align}
\left|\vec{x}(t’)\right|\frac{d}{dt}\left|\vec{x}(t’)\right|=\vec{x}(t’)\cdot\dot{\vec{x}}(t’)
\end{align}

を使うと、

\begin{align}
W=&GMm\int^{t}_{t_0}\frac{1}{\left|\vec{x}(t’)\right|^3}\left|\vec{x}(t’)\right|\frac{d}{dt}\left|\vec{x}(t’)\right|dt’\\
=&GMm\int^{t}_{t_0}\frac{1}{\left|\vec{x}(t’)\right|^2}\frac{d}{dt}\left|\vec{x}(t’)\right|dt’
\end{align}

と書き換えられます。さて、ここで変数変換をします。

\(r’=\left|\vec{x}(t’)\right|\)に変数を変えます。

積分区間は

\begin{align}\begin{cases}
t’:t_0\to t\\
r’:r_0\to r
\end{cases}\end{align}

となり、微小幅は以下のようになります。

\begin{align}
\frac{dr’}{dt’}=\frac{d}{dt’}\left|\vec{x}(t’)\right|\\
\Longleftrightarrow
dr’=\frac{d}{dt’}\left|\vec{x}(t’)\right|dt’
\end{align}

これらを用いると外力のした仕事は以下のように変形できます。

\begin{align}
W=&GMm\int^{r}_{r_0}\frac{1}{r’^2}dr’\\
=&GMm\left(-\frac{1}{r}+\frac{1}{r_0}\right)
\end{align}

こうやって計算を進めるとポテンシャルエネルギーの変化が外力のした仕事というのが見えやすい形に変形できて、

\begin{align}
-\frac{GMm}{r_0}+W=-\frac{GMm}{r}
\end{align}

となります。基準点の\(r_0\)を無限遠とする\(r_0=\infty\)と左辺は\(W\)だけになりますので、以下のように定義した万有引力のポテンシャルエネルギーを使うのが自然です。

定義

原点に質点Mを固定し、そこからの距離\(r\)の位置に質点mがあるとき、万有引力のポテンシャルエネルギーは基準点を無限遠として、以下のものをよく使う。

\begin{align}
U(r)=-\frac{GMm}{r}
\end{align}

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