物理の勉強記録&参考書紹介

合成関数の微分

(※数式が見切れている場合は横スクロールしてください。)

ここでは合成関数の微分を行なっていくことにしますね。この節をクリアすれば、力学に戻ってエネルギーとは何か考えていくことになります。

まずはその公式を覚えてもらって、その後、実際に問題を解くことで慣れてもらうのが一番です。

公式

\begin{align}
\frac{d}{dt}\left(f\cdot g(x)\right)=\frac{df}{dg}\frac{dg}{dx}
\end{align}

おそらくこれだけ見ても何のことやらわからないでしょうから、具体的に以下の例題で説明することにしますね。

\begin{align}
\frac{d}{dx}\left(x^2+3\right)^3
\end{align}

これくらいの計算であれば、わざわざ合成関数の微分のテクニックを使わずとも、展開をしてひとつずつ微分していけばできますが、ここでは合成関数の微分のテクニックを覚えておきましょう。

まず、公式を使うために以下のように\(f\)と\(g\)を定めたとします。

\begin{align}
\begin{cases}
f(x)=x^3\\
g(x)=x^2+3
\end{cases}
\quad\rightarrow\quad
f\cdot g(x)=(x^2+3)^3
\end{align}

以下のように公式を使って微分することができます。

\begin{align}
&\frac{d}{dx}(x^2+3)^3\\
=&\frac{d(g^3)}{dg}\frac{d(x^2+3)}{dx}\\
=&3g^2\cdot 2x=6x(x^2+3)^2
\end{align}

ポイントは\(f\)の中に関数ではなく\(g\)という文字が入っているものだと思って微分したあと、\(g\)の微分を掛け算するということです。

次の章で使う速度の2乗の微分を問題として解いておきましょう。

問題

速度\(v\)が時刻\(t\)の関数として与えられているときに、以下の計算を行いなさい。

\begin{align}
\frac{d}{dt}v^2(t)
\end{align}

解答

合成関数の微分のテクニックを使うだけです。まず\(v\)を\(t\)の関数だと思わずに微分し、そのあと、\(v\)の微分を掛け算すればいいだけなので、

\begin{align}
\frac{d}{dt}v^2(t)=2v(t)\dot{v}(t)
\end{align}

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