物理の勉強記録&参考書紹介

位置エネルギー

(※数式が見切れている場合は横スクロールしてください。)

さて先ほどの問題の最終的な答えを少し変形してみましょう。

\begin{align}
\frac{mv_2^2}{2}+mgx_2=\frac{mv_1^2}{2}+mgx_1
\end{align}

この形にすると、時刻\(t_1\)における物理量(右辺)と、時刻\(t_2\)における物理量(左辺)が同じ形をしていることがわかります。

運動エネルギーについては定義をしましたが、\(mgx(t)\)という値もエネルギーと同じ単位を持っています。(同じ単位同士でないと足し算引き算はできませんので、当たり前なのですが。)

この\(mgx(t)\)について少し丁寧に考えてみることにしましょう。そのために次のようなシチュエーションを考えます。

まず質点mを非常にゆっくり水平面から高さの位置\(x_1\)に持ち上げるとします。このとき「ゆっくり」というのは移動の最中は各瞬間各瞬間において、重力と自らが加える力\(F(t)\)(外力)がつりあっているとみなせるほど「ゆっくり」ということです。

その移動で外力\(F(t)\)が質点mに与えた仕事は以下のようになります。

\begin{align}
\int^{x_1}_0 F(t)dx’=mgx_1
\end{align}

この計算は「ゆっくり」移動させたので、\(F(t)\)と重力\(mg\)がつりあっているという条件を用いました。

持ち上げ切った瞬間を時刻\(t_1\)として、その瞬間に外力\(F(t)\)をゼロにすると、質点は重力に従って、自由落下を始めます。重力に抗って外力がした仕事が、自由落下を行うにつれ、以下のように運動エネルギーに変換されます。

\begin{align}
&\frac{mv_2^2}{2}-\frac{m\cdot0^2}{2}=\int^0_{x_1}(-mg)dx=mgx_1\\
\Longleftrightarrow&mgx_1=\frac{mv_2^2}{2}
\end{align}

ここで\(v_2\)は地面に衝突する寸前の質点の速度です。外力\(F(t)\)が質点に蓄えたエネルギー\(mgx_1\)は、地面への衝突直前には全て運動エネルギーに変換さているのがお分かりいただけるでしょう。

このように運動エネルギーに変換される潜在能力(ポテンシャル)を秘めているエネルギーとして\(mgx(t)\)は扱えるので、ポテンシャルエネルギーと呼ばれることがあります。

また、重力の大きさと、基準面(今回は水平面)からの変位によって決まることから、重力の位置エネルギーと呼ぶこともあります。(高校物理では重力の位置エネルギーという言葉を使うことが多いです。)

この節の最初の式は左辺も右辺も「運動エネルギー+重力の位置エネルギー(ポテンシャルエネルギー)」の形で表されています。この和のことを力学的エネルギーと呼び、それが時間に依らず一定なことを力学的エネルギーの保存と言います。

この節の最初の式はまさに力学的エネルギーの保存の式で、重力以外に力が働かないときに常に成り立ちます。

位置エネルギーは重力のみではありません。高校範囲には、ばねの弾性エネルギー(位置エネルギーもしくはポテンシャルエネルギーの一種)もありますし、それと同一視できる浮力の位置エネルギーもよく出てきます。

次にこのばねの弾性エネルギーについて考えてみましょう。

まずシチュエーションですが、質点mがばねkにつながれていて、ばねの他端は固定された壁につながれている状況を考えます。

先程は重力に抗って「ゆっくり」動かしていましたが、今度はばねの弾性力に抗って「ゆっくり」質点mをばねの縮む方向に外力\(F(t)\)を加えて動かすことにします。ばねの縮みが\(x_1\)となるところまで縮めた時に外力\(F(t)\)のした仕事は次のようになります。

\begin{align}
\int^{-x_1}_0F(t)dx=\int^{-x_1}_0(kx)dx=\frac{kx_1^2}{2}
\end{align}

これがばねの弾性エネルギーと言われるものです。

変位\(x\)の符号に依らない(2乗の形)ので、伸びても縮んでも同じ形で弾性エネルギーがたまります。

弾性エネルギーと運動エネルギーの和も時間に依らずに保存します。それを用いて次の問題を解いてみましょう。

問題

先程と同様のばねkに質点mが付けられている状況を考える。時刻\(t_1\)において、ばねは\(x_1\)だけ縮んでいるとする。

時刻\(t_2\)において、縮みが始めてゼロになり、その時の質点の速度\(v_2\)はであった。\(v_2\)を求めよ。

解答

力学的エネルギーの保存の式を使います。

\begin{align}
\frac{mv_1^2}{2}+\frac{kx_1^2}{2}=\frac{mv_2^2}{2}+\frac{kx_2^2}{2}
\end{align}

に具体的に問題で与えられた条件を代入すると、

\begin{align}
&\frac{m0^2}{2}+\frac{k(-x_1=^2}{2}=\frac{mv_2^2}{2}+\frac{k0^2}{2}\\
\Longleftrightarrow&v_2=\sqrt{\frac{k}{m}}x_1
\end{align}

この問題から、ばねの弾性エネルギーは運動エネルギーに化ける潜在能力を持つポテンシャルエネルギーといわれるとイメージがつきやすいですね。

さて、この章までの学習で高校物理の力学の範囲だと、正直かなりの問題が解けるようになっています。マキノさんが次に進むことを焦っていないなら一度しっかりと問題演習に取り組むことがおすすめです。

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