(※数式が見切れている場合は横スクロールしてください。)
外積の時間微分は計算できるようになっていますから、角運動量も時間微分することができます。質点mの原点まわりの角運動量の時間依存を微分することで見てみましょう。
\begin{align}
\frac{d}{dt}\vec{L}(t)=&\frac{d}{dt}\left(\vec{x}(t)\times\vec{p}(t)\right)\\
=&\dot{\vec{x}}(t)\times m\dot{\vec{x}}(t)+\vec{x}(t)\times m \ddot{\vec{x}}(t)\\
=&\vec{x}(t)\times \vec{F}(t)
\end{align}
\frac{d}{dt}\vec{L}(t)=&\frac{d}{dt}\left(\vec{x}(t)\times\vec{p}(t)\right)\\
=&\dot{\vec{x}}(t)\times m\dot{\vec{x}}(t)+\vec{x}(t)\times m \ddot{\vec{x}}(t)\\
=&\vec{x}(t)\times \vec{F}(t)
\end{align}
最後の変形で運動方程式を用いています。\(\vec{F}(t)\)は質点mにかかる力です。この計算の右辺の最後の式、すなわち\(\vec{x}(t)\times \vec{F}(t)\)を原点回りのモーメントと言います。
運動方程式と対比させてみるとイメージがつかみやすくなるはずです。運動方程式は以下のように書くことができます。
\begin{align}
\vec{F}(t)=m\ddot{\vec{x}}(t)=\dot{\vec{p}}(t)
\end{align}
\vec{F}(t)=m\ddot{\vec{x}}(t)=\dot{\vec{p}}(t)
\end{align}
すなわち、力\(\vec{F}(t)\)が運動量の変化を表すと見ることができますね。これと同様に考えると先ほどの式は、モーメントが角運動量の変化を表すと読むことができますね。
ちなみにモーメントの大きさは
\begin{align}
\left|\vec{x}\times\vec{F}\right|=\left|\vec{x}\right|\cdot\left|\vec{F}\right|\sin\theta
\end{align}
\left|\vec{x}\times\vec{F}\right|=\left|\vec{x}\right|\cdot\left|\vec{F}\right|\sin\theta
\end{align}
となりますが、これを図で確認するとより理解が深まります。
この図を見ると、\(\vec{F}\)のうち回転の勢いを変化させる成分がちょうど\(F\sin\theta\)になっていることがお分かりいただけるでしょう。
関連リンク
>>YouTubeで使用可能な数学と物理の参考書「アラサー高校物理」
スポンサーリンク
東大卒の現役塾講師が
東大理系攻略法を
解説したPDF販売中！
東大理系攻略法を
解説したPDF販売中！
中高一貫校に行かなくても、塾に行かなくても、独学で受かるための勉強法を完全解説！
全科目の参考書
全参考書の使い方
受験までの勉強スケジュール
が全てわかります！
今だけ！100様限定60%OFF！
さらに24時間以内なら返金保証つき！
会員数500万人超の「note」で
無料サンプル公開！
無料サンプル公開！
