物理の勉強記録&参考書紹介

合成関数

(※数式が見切れている場合は横スクロールしてください。)

先ほど、逆関数を定義するところで実は合成関数の概念は導入しています。言葉で説明すると、合成関数は以下のようになります。

ある関数に入力1を入れて、出力1を得ます。その出力1を今度は入力2として別の関数に入れて、出力2を得ます。このとき、入力1から出力2を得る関数を合成関数と言います。

数式で表すと例えば、関数\(g\)の入力に\(f(x)\)を使うようなものですね。図を見ていただいた方がわかりやすいかもしれません。

図は以下のようになっています。

問題を解いてみると、もう少しスッキリ理解することができるでしょう。

問題

以下のように関数\(f\)と関数\(g\)が与えられているときに、合成関数\(f\cdot g\)と\(g\cdot f\)を求めよ。

1.

\begin{align}
f(x)=x^2,\quad g(x)=\sin x
\end{align}

2.

\begin{align}
f(x)=3x+1,\quad g(x)=\cos x
\end{align}

解答

1.
問題を解くだけなら答えだけで大丈夫ですかね。

\begin{align}
&f\cdot g(x)=f(g(x))=\left(g(x)\right)^2=\sin^2 x\\
&g\cdot f(x)=g(f(x))=\sin(f(x))=\sin x^2
\end{align}

三角関数の章で学習したように、指数のついている位置に注意してくださいね。

2.

\begin{align}
&f\cdot g(x)=f(g(x))=3g(x)+1=3\cos x+1\\
&g\cdot f(x)=g(f(x))=\cos(f(x))=\cos(3x+1)
\end{align}

このように先にどちらの関数に入力するかによって一般に合成関数は異なることがわかります。

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