(※数式が見切れている場合は横スクロールしてください。)
\(x\)のn乗を計算するためには、二項定理を用いて計算する必要があります。
定義に従って以下のように計算を進めればOKです。2つ目の等号にて、二項定理を用いるとともに、\(h\)の2乗以上の項はまとめることに注意してください。
\begin{align}
&\frac{d}{dx}x^n\\
=&\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}\\
=&\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\left(x^n+nx^{n-1}h+h^2(\cdots)-x^n\right)\\
=&\lim_{h\to0}\left(nx^{n-1}+h(\cdots)\right)\\
=&nx^{n-1}
\end{align}
&\frac{d}{dx}x^n\\
=&\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}\\
=&\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\left(x^n+nx^{n-1}h+h^2(\cdots)-x^n\right)\\
=&\lim_{h\to0}\left(nx^{n-1}+h(\cdots)\right)\\
=&nx^{n-1}
\end{align}
というわけで公式は以下のようになります。
公式
\begin{align}
\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}
\end{align}
\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}
\end{align}
この公式のポイントは指数部分が前に降りてきて係数になり、指数部分の次数が一つ下がるということです。
関連リンク
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