物理の勉強記録&参考書紹介

微分の線形性

(※数式が見切れている場合は横スクロールしてください。)

多項式のような関数の足し算を定義に従って微分すると、各項を微分すればいいことがわかる。

関数として、\(i(x)=f(x)+g(x)\) を準備して、以下のようにこれを定義に従って微分してみます。

\begin{align}
&\frac{d}{dx}i(x)\\
=&\lim_{h\to0}\frac{i(x+h)-i(x)}{h}\\
=&\lim_{h\to0}\left(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right)\\
=&\frac{d}{dx}f(x)+\frac{d}{dx}g(x)
\end{align}

このように足し算の形になっている関数は各関数を個別に微分すればいいことがわかります。足し算の記号を微分の記号は超えて行けると表現することもできますね。

問題

次の関数の導関数を求めよ。

\begin{align}
&1.\quad f(x)=3x^2-5x\\
&2.\quad f(x)=x^3-2x+4
\end{align}

解答

\begin{align}
&1.\quad f'(x)=6x-5\\
&2.\quad f'(x)=3x^2-2
\end{align}

もしマキノさんが微分の計算に慣れていないようでしたら、もう少し問題を解いておくことがおすすめです。

以降微分はまあまあ出てきますけど、今回の節くらいの微分は九九くらいできるようになっておくと楽に読み進められます。

問題集も少しずつ作っていますので、興味があればどうぞ。関連リンクの最初のリンク先に問題へのリンクがあります。

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