物理の勉強記録&参考書紹介

力積と運動量

(※数式が見切れている場合は横スクロールしてください。)

さて、少しだけ数学的な操作を通して新しい概念を学ぶこととしましょう。

具体的には運動方程式を時間積分することによって得られる情報について整理しておくのがこの節の目標です。

さて、早速始めて行きましょう。質点mに力Fがかかっているときの運動方程式はこれまでに何度か出てきていますね。これを時間積分すると以下のようになります。

\begin{align}
&\int^{t_2}_{t_1}m\vec{a}(t’)dt’=\int^{t_2}_{t_1}\vec{F}(t’)dt’\\
\Longleftrightarrow &m\vec{v}(t_2)-m\vec{v}(t_1)\int^{t_2}_{t_1}\vec{F}(t’)dt’
\end{align}

ここまではただただ積分しただけですね。左辺は加速度の時間積分が速度になるという変形をしただけです。

この式の各項には名前がついています。

定義

\begin{align}
m\vec{v}(t_2)-m\vec{v}(t_1)\int^{t_2}_{t_1}\vec{F}(t’)dt’
\end{align}

まず左辺第1項目が時刻\(t_2\)における質点mの運動量、第2項目が時刻\(t_1\)における質点mの運動量。そして右辺は時刻\(t_1\)から時刻\(t_2\)の間に力\(\vec{F}(t)\)が質点に与えた力積である。

ある物体がある時刻に持つ運動量は、その物体の質量とその物体の速度ベクトルの積で表されます。運動量って何?と言われると、「イメージとしてはその物体の運動の勢いと考えてください。」というように答えるようにしています。衝突の問題とかを扱うとそのイメージが少しだけ具体的になはずなので、少々お待ちください。

先ほどの定義の中で出てきた式の左辺は時刻\(t_1\)から時刻\(t_2\)になったときに質点mの運動量がどれだけ変化したかを表したものになっているわけですね。

これに対応するのが右辺で、右辺の力積は2つの時刻の間に質点mに与えていた力\(\vec{F}(t)\)によって及ぼされた質点mの運動量の変化を示していることになります。

力積はあくまでも運動量の変化を記述するので、2つの時刻があって初めて定義される量であることに注意です。

ここまでで、この節は終わりなわけですが、これだけだと何が何やらって感じですよね。
少し力積と運動量のイメージを具体化するためにもはね返り係数を学んで、質点が壁にぶつかるような運動を考えてみることにしましょう。

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