マイナス乗と分数乗の指数｜ぽこラボ勉強ブログ

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ここでいくつか数学の準備をしておきましょう。今回の数学準備の商の最終目的は三角関数の微分です。これができるようになると、単振動と円運動という新しい運動を議論できるようになります。

まずは指数の拡張です。ここまで指数は正の整数乗しか扱ってきませんでした。その範囲の中で以下のようなルールを中学の時に習っているはずです。

\begin{align}
\begin{cases}
A^x\times A^y=A^{x+y}\\
A^x\div A^y=A^{x-y}\\
\left(A^x\right)^y=A^{xy}
\end{cases}
\end{align}

今回はこのルールを正の整数乗よりも広い範囲に適用することとします。
初めに負の整数乗を考えてみましょう。負の整数乗でも先ほどと同じルールが適用できるとすると、

\begin{align}
2^{-1}=2^1\div 2^2=\frac{1}{2}
\end{align}

のように考えることができますし、ほかにも以下のように考えることができます。

\begin{align}
2^{-3}=2^2\div 2^5=\frac{1}{2^3}
\end{align}

ここまで、数学も物理もついてこられているマキノさんであれば、この2つの例だけで予想できるかもしれません。を正の整数とすると、

\begin{align}
A^{-x}=\frac{1}{A^x}
\end{align}

と定義すれば、基本的に先ほどの指数のルールを破ることなく運用することができます。分数乗についても実は考えることができます。たとえば、

\begin{align}
2^{\frac{1}{2}}\times2^{\frac{1}{2}}=2^{1}\Longleftrightarrow 2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}
\end{align}

とかですね。中学生のときに習った平方根は実は2分の1乗とも読むことができるというわけです。

平方根は2乗して元に戻る数字でしたが、3乗根や4乗根、などいくらでも作ることができます。

たとえば、

\begin{align}
2^{\frac{1}{3}}\times2^{\frac{1}{3}}\times2^{\frac{1}{3}}=\left(2^{\frac{1}{3}}\right)^3=2
\end{align}

となるので、3分の1乗は3乗根です。3乗根は3乗して元に戻る数字ということです。分数乗はもっと複雑な分数も扱うことができて、たとえば以下のような計算ができます。

\begin{align}
\left(3^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{15}{4}}=3^{\frac{5}{2}}
\end{align}

ほかにも、

\begin{align}
5^{\frac{1}{2}}\div5^{\frac{2}{3}}=5^{\frac{1}{2}-\frac{2}{3}}=5^{-\frac{1}{6}}=\frac{1}{5^{\frac{1}{6}}}
\end{align}

みたいな計算もできます。あとは慣れです。

問題

計算せよ。

\begin{align}
&1.\quad -2^0\\
&2.\quad 3^{-3}\\
&3.\quad x^{-1}x^3\\
&4.\quad 2^{\frac{1}{3}}\times32^{\frac{1}{3}}\\
&5.\quad \left(\frac{9}{16}\right)^{\frac{1}{6}}
\end{align}

\(3^x+3^{-x}=3\)のとき、次の値を求めよ。

\begin{align}
9^x+9^{-x}
\end{align}

解答

ルールに従うだけですが、1問目だけは少しだけ戸惑うかもしれませんね。以下のように考えればいいです。

\begin{align}
2^0=2^1\div 2^{-1}=\frac{2}{2}=1
\end{align}

というわけで、最初の問題の答えは

\begin{align}
-2^0=-1
\end{align}

です。

2. & 3.

これは簡単なので、答えだけにしておきます。

\begin{align}
3^{-3}=\frac{1}{27}
\end{align}

\begin{align}
x^{-1}x^3=\frac{1}{x}\times x^3=x^2
\end{align}

ルートの計算をするときにも、ルートの中身によっては先に簡単にしてから計算することがありました。似たようなことを行えばいいだけです。

\begin{align}
2^{\frac{1}{3}}\times32^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{1}{3}}\times2^{\frac{5}{3}}=2^2=4
\end{align}

こんな感じですね。

これも同じです。

\begin{align}
\left(\frac{9}{16}\right)^{\frac{1}{6}}=\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{1}{3}}
\end{align}

最後は少しだけ手強いですが、全体を2乗するのがポイントです。

\begin{align}
&\left(3^x+3^{-x}\right)^2=3^2\\
\Longleftrightarrow
&3^{2x}+2\cdot3^x\cdot3^{-x}+3^{-2x}=9\\
\Longleftrightarrow
&9^x+2+9^{-x}=9\\
\Longleftrightarrow
&9^x+9^{-x}=7
\end{align}

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