物理の勉強記録&参考書紹介

万有引力と2次曲線(ケプラーの第1法則)

(※数式が見切れている場合は横スクロールしてください。)

ケプラーの法則の話に戻っていきましょう。

次のような状況を考えます。

原点に質量\(M\)の質点Mを固定する。

その質点Mから万有引力のみを受けている質量\(m\)の質点mの運動の軌道を考える。

ただし、万有引力\(G\)とし、質点mの運動は\(z\)平面上とする。

質点mの運動方程式は以下のようになります。

\begin{align}\begin{cases}
ma_r=m(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)=-\frac{mMG}{r^2}\\
ma_\theta=m\frac{1}{r}\frac{d}{dt}(r^2\dot{\theta})=0
\end{cases}\end{align}

角度方向の運動方程式から、\(r^2\dot{\theta}\)は保存します。

\begin{align}
r^2\dot{\theta}=2L
\end{align}

と置けます。もちろん\(L\)は定数です。さらに\(u=1/r\)とおくと、

\begin{align}
\dot{\theta}=2Lu^2
\end{align}

となります。これらのわざわざ置きなおした文字を使って\(r\)方向の運動方程式を計算するために\(r\)を微分したものを準備しておきます。

\begin{align}
\dot{r}=&\frac{d}{dt}\frac{1}{u}\\
=&-\frac{1}{u^2}\dot{u}\\
=&-\frac{2L}{\dot{\theta}}\frac{du}{d\theta}\dot{\theta}\\
=&-2L\frac{du}{d\theta}
\end{align}

途中で\(du/dt=du/d\theta\cdot d\theta/dt\)を使いました。

\begin{align}
\ddot{r}=&-2L\frac{d^2u}{d\theta^2}\dot{\theta}\\
=&-4L^2u^2\frac{d^2u}{d\theta^2}
\end{align}

これらを\(r\)方向の運動方程式に代入します。

\begin{align}
&-4L^2u^2\frac{d^2u}{d\theta^2}-\frac{1}{u}\cdot 4L^2u^4=-MGu^2\\
\Longleftrightarrow
&\frac{d^2u}{d\theta^2}+u=\frac{MG}{4L^2}
\end{align}

少し移項して書きなおすと、単振動の方程式と同じ形になります。

\begin{align}
\frac{d^2}{d\theta^2}\left(u-\frac{MG}{4L^2}\right)=-\left(u-\frac{MG}{4L^2}\right)
\end{align}

これは以下のように解くことができます。

\begin{align}
u-\frac{MG}{4L^2}=A\cos\theta+B\sin\theta
\end{align}

初期条件はまだ与えていなかったので、\(B=0\)とします。

このとき、以下のように\(u=1/r\)として計算を進めると2次曲線の形になります。

\begin{align}
&\frac{1}{r}-\frac{MG}{4L^2}=A\cos\theta\\
&r=\frac{\frac{4L^2}{MG}}{\frac{4L^2}{MG}A\cos\theta+1}
\end{align}

準線\(x=a\)で、離心率\(e\)の2次曲線の式は

\begin{align}
r=\frac{ea}{1+e\cos\theta}
\end{align}

なので、比較すると

\begin{align}
e=\frac{4L^2A}{MG},\quad a=\frac{1}{A}
\end{align}

という対応になっていることがわかります。実際に図示してみるとこんな感じです。

ここまでの計算で、万有引力だけの力で運動するときには2次曲線の軌道を描くことが分かります。

その軌道がだ円になるのか、放物線になるのか、双曲線になるのか、というのは\(e\)と\(1\)の大小を比較して決まります。

この\(e\)と\(1\)の大小は力学的エネルギーと関連があることを以下で見ていきます。\(L\)は定数なので、初期条件だけで求めたものがずっと続きます。

\(\theta=0\)のとき、\(r=x_0\)で始線に対して直角に\(v_0\)の初期条件とします。

\begin{align}
4L^2=&(2L)^2\\
=&r^2\cdot (r\theta)^2\\
=&x_0^2v_0^2
\end{align}

という感じです。\(v_0^2=4L^2/x_0^2\)がわかりますので、これを使って力学的エネルギーを計算していきます。

\begin{align}
E=&\frac{1}{2}mv_0^2-\frac{mMG}{x_0^2}\\
=&\frac{1}{2}m\frac{4L^2}{x_0^2}-\frac{mMG}{x_0}\\
=&\frac{m}{2x_0}\left(\frac{4L^2}{x_0}-2MG\right)\\
\end{align}

ここで、2次曲線の\(e\)と準線の関係から、\(x_0\)と\(A\)がどのような関係になっているかわかります。

\begin{align}
x_0=\frac{e}{e+1}a=\frac{4L^2}{(e+1)MG}
\end{align}

それを力学的エネルギーに代入すると

\begin{align}
E=&\frac{m}{2x_0}\left(4L^2\frac{(e+1)MG}{4L^2}-2MG\right)\\
=&\frac{mMG}{2x_0}(e-1)
\end{align}

ここまで進めると、\(e-1\)の正負と\(E\)の正負が一致することがわかります。

\(0<e<1\)のときに、だ円だったので、\(E\)が負ならだ円となります。

同様に\(e=1\)のとき、すなわち\(E=0\)のとき、放物線。

\(e>1\)のとき、すなわち\(E>0\)のとき、双曲線となることがわかります。

\(E<0\)というのはここまで見慣れていないと思いますが、よくある話です。後ほど少々解説することにします。

だ円上を動く形になるのはケプラーの法則の1つでしたので、ケプラーの法則で残るところは1つとなります。

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