物理の勉強記録&参考書紹介

指数の微分・積分

(※数式が見切れている場合は横スクロールしてください。)

さらに、微分についてもこれまでに使ったルールを適用できます。具体的に言うとこれですね。

\begin{align}
\frac{d}{dx}x^a=ax^{a-1}
\end{align}

例えば、

\begin{align}
\frac{d}{dx}x^{-\frac{1}{3}}=-\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}
\end{align}

といった具合です。少し難しい微分もこれで扱えるようになります。

問題

以下を微分せよ。

\begin{align}
&1.\quad x^{\frac{1}{2}}\\
&2.\quad \frac{1}{(2x+3)^3}\\
&3.\quad (x^2+x)^{-\frac{1}{2}}
\end{align}

解答

1.

最初の問題は公式どおりですね。

\begin{align}
\frac{d}{dx}x^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}
\end{align}

2.

これは合成関数の微分のテクニックが必要です。

\begin{align}
g(x)=2x+3
\end{align}

だと思って、以下のように微分すればできますね。

\begin{align}
&\frac{d}{dx}\left(g(x)\right)^{-3}\\
=&\frac{d}{dg}g^{-3}\cdot\frac{d}{dx}g\\
=&-3\cdot(2x+3)^{-4}\cdot2\\
=&\frac{-6}{(2x+3)^{4}}
\end{align}

3.

最後の問題も合成関数の微分を思い出さないと解けない問題です。

これくらいは一気にいけるようになってくださいね。

\begin{align}
\frac{d}{dx}(x^2+x)^{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}(x^2+x)^{-\frac{3}{2}}(2x+1)
\end{align}

さて、続いて積分もこれまでと同様のルールが使えますが、1つ問題なのは\(x^{-1}\)の積分です。これ以外はここまでの学習内容で扱えるので、扱えるものだけ扱っておきますね。

例えば、以下のようなものを積分できるようになります。

\begin{align}
\int^1_{-1}\sqrt{x+1}dx
\end{align}

わかりやすくするためには少しだけ置換積分の技術を使う方がいいですかね。

\begin{align}
x+1=t
\end{align}

と置き直します。これを使って変数変換を行うと、

\begin{align}
&\int^1_{-1}\sqrt{x+1}dx\\
=&\int^2_0t^{\frac{1}{2}}dt\\
=&\left[\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}\right]^2_0\\
=&\frac{4\sqrt{2}}{3}
\end{align}

このあたりも先ほどと同じで、基本的なルールは正の整数の指数が使われているときと同じように計算できます。ただし、置換積分と一緒に用いることが多いので、置換積分にまだ慣れていなければ、一度、復習をしてから次の問題に挑むのがいいですね。

問題

次の積分を行え。

\begin{align}
&1.\quad \int^5_2(x-2)^{-\frac{3}{2}}dx\\
&2.\quad \int^2_0 x\sqrt{x^2+4}dx
\end{align}

解答

1.

これは\(t=x-2\)のように変数変換すれば、見やすくなります。

\begin{align}
&\int^5_2(x-2)^{-\frac{3}{2}}dx\\
=&\int^3_1t^{-\frac{3}{2}}dt\\
=&\left[-2t^{-\frac{1}{2}}\right]^3_1\\
=&-\frac{2}{\sqrt{3}}+2
\end{align}

このような感じですかね。微小幅、積分区間を両方ともちゃんと書き換えないといけないことに注意です。今回の場合は積分幅は変わりませんけどね。置換積分の手順をもう一度おさらいしておいてください。

2.

続いては、\(t=\sqrt{x^2+4}\)と置き換えます。

このとき、微小幅は次のように直さねばなりません。

\begin{align}
&\frac{dt}{dx}=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}\\
\Longleftrightarrow
&dx=\frac{\sqrt{x^2+4}}{x}dt
\end{align}

これを使って被積分関数\(dx\)の部分を変形すると以下のようになります。

\begin{align}
&x\sqrt{x^2+4}dx\\
=&x\sqrt{x^2+4}\cdot\frac{\sqrt{x^2+4}}{x}dt\\
=&(x^2+4)dt=t^2dt
\end{align}

あとは積分区間だけ注意すれば大丈夫ですね。

\begin{align}
&\int^2\sqrt{2}_2t^2dt\\
=&\left[\frac{1}{3}t^3\right]^2\sqrt{2}_2\\
=&\frac{8}{3}(2\sqrt{2}-1)
\end{align}

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