物理の勉強記録&参考書紹介

不定積分

(※数式が見切れている場合は横スクロールしてください。)

微分の次に、積分という操作を学んでもらうことにしましょう。積分は一言でいうと微分の逆の操作のことです。

微分の章では以下のような式が成り立つことを学んでいますね。

\begin{align}
\frac{d}{dx}\left(x^2+C\right)=2x
\end{align}

不定積分とはこの逆の操作で右辺の\(2x\)を積分して、左辺の微分前の形を得る作業のことをいいます。

積分の記号としては以下の形を使うのが一般的です。

\begin{align}
\int 2x dx=x^2+C
\end{align}

左辺の左端の記号をインテグラルと読み、インテグラルはそこから積分が始まるということを表す記号です。\(dx\)は\(x\)という変数で積分をすることを明示し、微小積分幅とか微小幅のように呼ぶことがあります。ここが\(dx\)ではなく\(dy\)であれば\(y\)で積分しなければいけませんし、\(dz\)であれば\(z\)で積分するという具合です。

\(2x\)の部分、つまり積分される関数のことを被積分関数といい、積分される対象を表します。かっこでくくることによってどこまで積分するのかわかりやすくなります。

右辺の\(C\)は積分定数と言います。定数は微分すると\(0\)になるので、ここで与えられた右辺の\(C\)がどんな数であれ、右辺を微分すれば左辺の被積分関数にちゃんと戻ります。

要するに、積分と微分の関係性から、定数分は不定性が残ってしまうことを考慮しなければならないということを表しています。このように積分に定数分の不定性が残ることから、このような積分を不定積分と呼びます。

何はともあれ、問題を解くことで積分に慣れることがここでは重要です。微分して被積分関数になるようなものを探すゲームだと思って以下の問題にチャレンジしてみてください。

問題

\begin{align}
&1.\quad \int 3x^2dx\qquad 2.\quad \int4x^3dx\\
&3.\quad \int xdx\qquad 4.\quad\int x^2dx\\
&5.\quad \int 3 dx
\end{align}

解答

\begin{align}
&1.\quad \int 3x^2dx=3x^3+C\\
&2.\quad \int4x^3dx=x^4+C\\
&3.\quad \int xdx=\frac{1}{2}x^2+C\\
&4.\quad\int x^2dx=\frac{1}{3}x^3+C\\
&5.\quad \int 3 dx=3x+C
\end{align}

 

3番と4番については右辺を微分したら左辺の被積分関数に一致しなければならないので、それぞれの項の前に係数が必要になります。

5問目のように定数の積分も計算できて、微分にして定数になるものと考えると、xの一次式が自然に出てくるはずですね。

先に問題を解いてもらったので、後出し的になりますが公式を書いておきましょう。

公式

\begin{align}
\int ax^ndx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C
\end{align}

公式の右辺を微分すると左辺の被積分関数に戻ることが確認できますよね。

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