積分の線形性｜ぽこラボ勉強ブログ

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微分のときには以下のような公式を導きました。

\begin{align}
\frac{d}{dx}\left(f(x)+g(x)\right)=\frac{d}{dx}f(x)+\frac{d}{dx}g(x)
\end{align}

この関係式があるから、微分は各項ごとに微分を行うことができたわけです。積分についても、各項ごとに積分することができるんです。

公式

\begin{align}
\int\left(f(x)+g(x)\right)dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx
\end{align}

例えば次のように各項ごとに積分を行えばオッケーです。

\begin{align}
\int(2x+3)dx=&\int2xdx+\int3dx\\
=&x^2+3x+C
\end{align}

積分定数に関しては各積分ごとに書いていっても良いのですが、定数分の不定性と定数分の不定性を足しても、結局定数分の不定性が出てくるだけなので、2つの積分の積分定数を1つに合わせて1つの積分定数だけ書いておけば大丈夫です。

では以下の問題を解いて、さらに不定積分に慣れてみてください。

問題

\begin{align}
&1.\quad \int (5x^2+3x+1)dx
&2.\quad \int (3x^3-2x^2-x-1)dx
\end{align}

解答

\begin{align}
&1.\quad \int (5x^2+3x+1)dx\\
&=\int 5x^2dx+\int3xdx+\int1dx\\
&=\frac{5}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2+x+C\\
&2.\quad \int (3x^3-2x^2-x-1)dx\\
&=\int3x^3dx-\int2x^2dx-\int xdx-\int1dx\\
&=\frac{3}{4}x^4-\frac{2}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-x+C
\end{align}

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