極座標表示での運動方程式｜ぽこラボ勉強ブログ

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ある時刻に質点が以下のような速度\(\vec{v}\)を持っているとしましょう。

\(xy\)表示での分解はここまで勉強してきたマキノさんなら慣れていらっしゃるで章から、メインは\(r\theta\)表示との対応を考えることです。

上の図を参考に考えると以下のような関係にあることがわかります。

\begin{align}
\begin{cases}
v_r=v_x\cos\theta+v_y\sin\theta\\
v_\theta=-v_x\sin\theta+v_y\cos\theta
\end{cases}
\end{align}

ついでに\(v_x\)と\(v_y\)も\(r\theta\)表示してみましょう。

\begin{align}
v_x=&\frac{d}{dt}(r\cos\theta)\\
=&\dot{r}\cos\theta-r\dot{\theta}\sin\theta\\
v_y=&\frac{d}{dt}(r\sin\theta)\\
=&\dot{r}\sin\theta+r\dot{\theta}\cos\theta
\end{align}

となります。これを先ほどの\(v_r\)と\(v_\theta\)に入れると以下のようになります。

\begin{align}
v_r=&(\dot{r}\cos\theta-r\dot{\theta}\sin\theta)\cos\theta+(\dot{r}\sin\theta+r\dot{\theta}\cos\theta)\sin\theta\\
=&\dot{r}\\
v_\theta=&-(\dot{r}\cos\theta-r\dot{\theta}\sin\theta)\sin\theta+(\dot{r}\sin\theta+r\dot{\theta}\cos\theta)\cos\theta\\
=&r\dot{\theta}
\end{align}

これと同じように加速度を計算してしまいましょう。

まず加速度\(a_r\)と\(a_\theta\)を\(a_x\)と\(a_y\)で表現します。

\begin{align}
\begin{cases}
a_r=a_x\cos\theta+a_y\sin\theta\\
a_\theta=-a_x\sin\theta+a_y\cos\theta
\end{cases}
\end{align}

この\(a_x\)と\(a_y\)も改めて\(r\theta\)表示してしまえばいいですね。

\begin{align}
a_x=&\frac{d}{dt}v_x=\frac{d}{dt}(\dot{r}\cos\theta-r\dot{\theta}\sin\theta)\\
=&\ddot{r}\cos\theta-2\dot{r}\dot{\theta}\sin\theta-r\dot{\theta}^2\cos\theta-r\ddot{\theta}\sin\theta\\
a_y=&\frac{d}{dt}v_y=\frac{d}{dt}(\dot{r}\sin\theta+r\dot{\theta}\cos\theta)\\
=&\ddot{r}\sin\theta+2\dot{r}\dot{\theta}\cos\theta-r\dot{\theta}^2\sin\theta+r\ddot{\theta}\cos\theta
\end{align}

これを先ほどの式に代入して

\begin{align}
a_r=&(\ddot{r}\cos\theta-2\dot{r}\dot{\theta}\sin\theta-r\dot{\theta}^2\cos\theta-r\ddot{\theta}\sin\theta)\cos\theta+(\ddot{r}\sin\theta+2\dot{r}\dot{\theta}\cos\theta-r\dot{\theta}^2\sin\theta+r\ddot{\theta}\cos\theta)\sin\theta\\
=&\ddot{r}-r\dot{\theta}^2\\
a_\theta=&-(\ddot{r}\cos\theta-2\dot{r}\dot{\theta}\sin\theta-r\dot{\theta}^2\cos\theta-r\ddot{\theta}\sin\theta)\sin\theta+(\ddot{r}\sin\theta+2\dot{r}\dot{\theta}\cos\theta-r\dot{\theta}^2\sin\theta+r\ddot{\theta}\cos\theta)\cos\theta\\
=&2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}=\frac{1}{r}\frac{d}{dt}(r^2\dot{\theta})
\end{align}

問題

質点ｍが等速円運動をするために必要な向心力の大きさを求めよ。

解答

向心力の大きさを\(f_r\)として\(r\)方向の運動方程式を書くと

\begin{align}
f_r=ma_r=mr\dot{\theta}^2
\end{align}

\(a_r\)に関しては第1項\(\ddot{r}\)はゼロです。等速円運動なので。

ちなみに\(\dot{\theta}=\omega\)とおくと、これまでに見た公式通りのものがちゃんと導けていることがわかります。

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