物理の勉強記録&参考書紹介

極座標表示

(※数式が見切れている場合は横スクロールしてください。)

これまでよく使われていた\((x,y)\)座標表示を\(r,\theta\)という違う表示の仕方をしていきます。

図を見ていただきます。

ある位置を指定するためには\((x,y)\)という表示だと

原点から\(x\)軸方向の正の方向に\(x\)だけ進んで、\(y\)軸方向の正の方向に\(y\)だけ進んだところ

という意味で指定します。

これと違う極座標表示だと\((r,\theta)\)を使う時には

原点から距離\(r\)で、始線から角度\(\theta\)のところ

という意味で指定します。先ほどの図だと始線と\(x\)軸の正の部分が一致するように描きました。

この2つの表示の関係性を数式にするなら以下のようになります。

\begin{align}
\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r\cos\theta\\r\sin\theta\end{pmatrix}
\end{align}

問題をいくつか解いて慣れておきましょう。

問題

\(xy\)表示で書かれている以下の座標を極座標表示にせよ。

\begin{align}
&1.\quad\begin{pmatrix}\sqrt{3}\\1\end{pmatrix}\\
&2.\quad\begin{pmatrix}100\\-100\sqrt{3}\end{pmatrix}
\end{align}

解答

1.

最初の問題だけ真面目に解いておきます。

\begin{align}
\begin{pmatrix}\sqrt{3}\\1\end{pmatrix}=&\begin{pmatrix}r\cos\theta\\r\sin\theta\end{pmatrix}
\end{align}

結局これは\(r\)と\(\theta\)の連立方程式を解けっていう問題と同じですね。

\begin{align}
&\left(\sqrt{3}\right)^2+1^2=r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta\\
\Longleftrightarrow
&4=r^2\\
\Longleftrightarrow
&r=2
\end{align}

ちなみに極座標表示では\(r\)については正の値だけ取ります。

これで\(r\)は決まりましたので、次に\(\theta\)を決めていきます。

\begin{align}
&2\cos\theta=\sqrt{3}\\
\Longleftrightarrow
&\theta=\frac{\pi}{6}
\end{align}

と決まります。

2.

全く同じ解き方で解けてしまうので、答えだけ書くと

\begin{align}
\begin{pmatrix}r\\\theta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}100\\-\frac{\pi}{3}\end{pmatrix}
\end{align}

となります。

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